Формула знаходження площі паралелограма через висоту. Як знайти площу паралелограма

Площа геометричної фігури – чисельна характеристика геометричної фігури показує розмір цієї фігури (частини поверхні, обмеженої замкнутим контуром даної фігури). Величина площі виражається числом полягають в неї квадратних одиниць.

Формули площі трикутника

1. Формула площі трикутника по стороні і висоті
   Площа трикутника дорівнює половині твори довжини сторони трикутника на довжину проведеної до цієї сторони висоти
2. Формула площі трикутника за трьома сторонами і радіусу описаного кола
3. Формула площі трикутника за трьома сторонами і радіусу вписаного кола
   Площа трикутника дорівнює добутку напівпериметр трикутника на радіус вписаного кола.
   де S – площа трикутника,
   – довжини сторін трикутника,
   – висота трикутника,
   – кут між сторонами і,
   – радіус вписаного кола,
   R – радіус описаного кола,

Формули площі квадрата

1. Формула площі квадрата по довжині боку
   Площа квадрата дорівнює квадрату довжини його сторони.
2. Формула площі квадрата по довжині діагоналі
   Площа квадрата дорівнює половині квадрата довжини його діагоналі.
   

   1

   2

   де S – Площа квадрата,
   – довжина сторони квадрата,
   – довжина діагоналі квадрата.

Формула площі прямокутника

Площа прямокутника дорівнює добутку довжин двох його суміжних сторін

де S – Площа прямокутника,
– довжини сторін прямокутника.

Формули площі паралелограма

1. Формула площі паралелограма по довжині боку і висоті
   Площа паралелограма
2. Формула площі паралелограма за двома сторонами і кутом між ними
   Площа паралелограма дорівнює добутку довжин його сторін помноженому на синус кута між ними.

де S – Площа паралелограма,
– довжини сторін паралелограма,
– довжина висоти паралелограма,
– кут між сторонами паралелограма.

Формули площі ромба

1. Формула площі ромба по довжині боку і висоті
   Площа ромба дорівнює добутку довжини його сторони і довжини опущеною на цю сторону висоти.
2. Формула площі ромба по довжині боку і розі
   Площа ромба дорівнює добутку квадрата довжини його сторони і синуса кута між сторонами ромба.
3. Формула площі ромба по довжинах його діагоналей
   Площа ромба дорівнює половині добутку довжин його діагоналей. де S – Площа ромба,
   – довжина сторони ромба,
   – довжина висоти ромба,
   – кут між сторонами ромба,
   1, 2 – довжини діагоналей.

Формули площі трапеції

Формула Герона для трапеції

Де S – Площа трапеції,
– довжини основ трапеції,
– довжини бічних сторін трапеції,

Точніше по планіметрії і тригонометрії, іноді потрібно знайти висоту паралелограма, виходячи із заданих значень сторін, кутів, діагоналей і т.п.

Щоб знайти висоту паралелограма, знаючи його площу і довжину підстави, необхідно скористатися правилом площі паралелограма. Площа паралелограма, як відомо, дорівнює добутку висоти на довжину підстави:

S – площа паралелограма,

а – довжина підстави паралелограма,

h – довжина опущеною на сторону а висоти, (або на її продовження).

Звідси отримуємо, що висота паралелограма буде площі, розділеної на довжину підстави:

дано: площа паралелограма дорівнює 50 кв.см., підстава – 10 см .;

знайти: висоту паралелограма.

Так як висота паралелограма, частина підстави і прилегла до основи сторона утворюють прямокутний, то для висоти паралелограма можна використовувати деякі співвідношення сторін і кутів прямокутних.

Якщо відомі прилеглі до висоті h (DE) сторона паралелограма d (AD) і протилежний висоті кут A (BAD), то розрахунку висоти паралелограма потрібно помножити довжину прилеглої сторони на синус протилежного кута:

наприклад, якщо d = 10 см, а кут А = 30 градусів, то

Якщо в задачі задані довжина прилеглої до висоти h (DE) паралелограма d (AD) і довжина відсікається висотою підстави (АЕ), то висоту паралелограма можна знайти скориставшись теоремою Піфагора:

| AE | ^ 2 + | ED | ^ 2 = | AD | ^ 2, звідки визначаємо:

тобто висота паралелограма дорівнює кореню квадратному з різниці квадратів довжини прилеглої сторони і відсікається висотою частини підстави.

Наприклад, якщо довжина прилеглої боку дорівнює 5 см., А довжина відсікається частині основи дорівнює 3 см, то довжина висоти буде:

Якщо відомі довжина прилеглої до висоти діагональ (D В) паралелограма і довжина відсікається висотою частини основи (ВЕ), то висоту паралелограма можна також знайти скориставшись теоремою Піфагора:

| ВE | ^ 2 + | ED | ^ 2 = | ВD | ^ 2, звідки визначаємо:

тобто висота паралелограма дорівнює кореню квадратному з різниці квадратів довжини прилеглої діагоналі і відсікається висотою (і) частини підстави.

Наприклад, якщо довжина прилеглої боку дорівнює 5 см., А довжина відсікається частині основи дорівнює 4 см, то довжина висоти буде:

• що таке висота паралелограма

Висотою багатокутника називають перпендикулярний однієї зі сторін фігури відрізок прямої, що з’єднує її з вершиною протилежного кута. Таких відрізків у плоскою опуклою фігурі існує кілька, і довжини їх не однакові, якщо хоч одна зі сторін багатокутника має відмінну від інших величину. Тому в задачах з курсу геометрії іноді потрібно визначити довжину більшої висоти, наприклад, трикутника або паралелограма.

Якщо крім довжини найкоротшою зі сторін трикутника (a) в умовах приведена (S) фігури, більшою з висот (Hₐ) буде досить проста. Подвійте площа і розділіть отримане значення на довжину короткої – це і буде шукана висота: Hₐ = 2 * S / a.

Не знаючи площі, але маючи довжини трикутника (a, b і c), теж можна знайти найдовшу з його висот, проте математичних операцій буде значно більше. Почніть з обчислення допоміжної величини – напівпериметр (р). Для цього складіть довжини всіх сторін і розділіть результат

Примітка . Це частина уроку з завданнями по геометрії (розділ паралелограм). Якщо Вам необхідно вирішити задачу з геометрії, якої тут немає – пишіть про це в форумі. Для позначення дії добування квадратного кореня в рішеннях задач використовується символ √ або sqrt (), при чому в дужках вказано подкоренное вираз.

теоретичний матеріал

Пояснення до формул знаходження площі паралелограма:

1. Площа паралелограма дорівнює добутку довжини одного з його сторін на висоту, опущену на цю сторону
2. Площа паралелограма дорівнює добутку двох його суміжних сторін на синус кута між ними
3. Площа паралелограма дорівнює половині твори його діагоналей на синус кута між ними

Задачі на знаходження площі паралелограма

Рішення .
Позначимо меншу висоту паралелограма ABCD, опущену з точки B на більше підставу AD як BK.
Знайдемо значення катета прямокутного трикутника ABK, утвореного меншою висотою, меншою стороною і частиною більшого підстави. По теоремі Піфагора:

AB 2 = BK 2 + AK 2
82 = 9 2 + AK 2
AK 2 = 82 – 81
AK = 1

Продовжимо верхнє підставу паралелограма BC і опустимо на нього висоту AN з його нижньої основи. AN = BK як сторони прямокутника ANBK. У отриманого прямокутного трикутника ANC знайдемо катет NC.
AN 2 + NC 2 = AC 2
9 2 + NC 2 = 15 2
NC 2 = 225 – 81
NC 2 = √144
NC = 12

Тепер знайдемо більше підставу BC паралелограма ABCD.
BC = NC – NB
Врахуємо, що NB = AK як сторони прямокутника, тоді
BC = 12 – 1 = 11

Площа паралелограма дорівнює добутку основи на висоту до цього підстави.
S = ah
S = BC * BK
S = 11 * 9 = 99

завдання

Рішення .
Опустимо на діагональ АС додатково ще один перпендикуляр DK.
Відповідно, трикутники AOB іDKC, COB і AKD попарно рівні. Одна зі сторін є протилежною стороною паралелограма, один з кутів – прямий, так як є перпендикуляром до діагоналі, а один з решти кутів є внутрішнім навхрест лежать для паралельних сторін паралелограма і січною діагоналі.

Таким чином, площа паралелограма дорівнює площі зазначених трикутників. Тобто
Sпаралл = 2S AOB + 2S BOC

Площа прямокутного трикутника дорівнює половині твори катетів. Звідки
S = 2 (1/2 8 * 4) + 2 (1/2 6 * 4) = 56 см 2
відповідь : 56 см 2.

Як в геометрії Евкліда точка і пряма – головні елементи теорії площин, так і паралелограм є однією з ключових фігур опуклих чотирикутників. З нього, як нитки з клубка, втікають поняття «прямокутника», «квадрата», «ромба» та інших геометричних величин.

визначення паралелограма

Опуклий чотирикутник, що складається з відрізків, кожна пара з яких паралельна, відомий в геометрії як паралелограм.

Як виглядає класичний паралелограм зображує чотирикутник ABCD. Сторони називаються підставами (AB, BC, CD і AD), перпендикуляр, проведений з будь-якої вершини на протилежну цій вершині сторону, – висотою (BE і BF), лінії AC і BD – діагоналями.

Увага! Квадрат, ромб і прямокутник – це окремі випадки паралелограма.

Сторони і кути: особливості співвідношення

Ключові властивості, за великим рахунком, зумовлені самим позначенням , Їх доводить теорема. Ці характеристики такі:

1. Сторони, які є протилежними, – попарно однакові.
2. Кути, розташовані протилежно один одному – попарно рівні.

Доказ: розглянемо ΔABC і ΔADC, які виходять внаслідок поділу чотирикутника ABCD прямий AC. ∠BCA = ∠CAD і ∠BAC = ∠ACD, оскільки AC для них загальна (вертикальні кути для BC || AD і AB || CD, відповідно). З цього випливає: ΔABC = ΔADC (друга ознака рівності трикутників).

Відрізки AB і BC в ΔABC попарно відповідають лініям CD і AD в ΔADC, що означає їх тотожність: AB = CD, BC = AD. Таким чином, ∠B відповідає ∠D і вони рівні. Так як ∠A = ∠BAC + ∠CAD, ∠C = ∠BCA + ∠ACD, які так само попарно однакові, то ∠A = ∠C. Властивість доведено.

Характеристики діагоналей фігури

Основна ознака цих ліній паралелограма: точка перетину поділяє їх навпіл.

Доказ: нехай т. Е – це точка перетину діагоналей AC і BD фігури ABCD. Вони утворюють два порівнянних трикутника – ΔABE і ΔCDE.

AB = CD, так як вони протилежні. Згідно прямих і січної, ∠ABE = ∠CDE і ∠BAE = ∠DCE.

За другою ознакою рівності ΔABE = ΔCDE. Це означає, що елементи ΔABE і ΔCDE: AE = CE, BE = DE і при цьому вони співмірні частини AC і BD. Властивість доведено.

Особливості суміжних кутів

У суміжних сторін сума кутів дорівнює 180 ° , Оскільки вони лежать по одну сторону паралельних ліній і січною. Для чотирикутника ABCD:

1. , Опущені на одну сторону, є перпендикулярними;
2. протилежні вершини мають паралельні бісектриси;
3. трикутник, отриманий проведенням бісектриси, буде рівнобедреним.

Визначення характерних рис паралелограма по теоремі

Ознаки цієї фігури випливають з її основної теореми, в якій мовиться наступне: чотирикутник вважається параллелограммом в тому випадку, якщо його діагоналі перетинаються, а ця точка розділяє їх на рівні відрізки.

Доказ: нехай в т. Е прямі AC і BD чотирикутника ABCD перетинаються. Так як ∠AED = ∠BEC, а AE + CE = AC BE + DE = BD, то ΔAED = ΔBEC (за першою ознакою рівності трикутників). Тобто ∠EAD = ∠ECB. Вони також є внутрішніми перехресними кутами січною AC для прямих AD і BC. Таким чином, за визначенням паралельності – AD || BC. Аналогічне властивість ліній BC і CD виводиться також. Теорема доведена.

Обчислення площі фігури

Площа цієї фігури знаходиться кількома методами, одним з найпростіших: множення висоти і підстави, до якого вона проведена.

Доказ: проведемо перпендикуляри BE і CF з вершин B і C. ΔABE і ΔDCF – рівні, оскільки AB = CD і BE = CF. ABCD – рівновеликий з прямокутником EBCF, так як вони складаються і пропорційних фігур: S ABE і S EBCD, а також S DCF і S EBCD. З цього випливає, що площа цієї геометричної фігури знаходиться так само як і прямокутника:

S ABCD = S EBCF = BE × BC = BE × AD.

Для визначення загальної формули площі паралелограма позначимо висоту як hb , А сторону – b . відповідно:

Інші способи знаходження площі

обчислення площі через сторони паралелограма і кут , Який вони утворюють, – другий відомий метод.

,

a і b – його боку

α – кут між відрізками a і b.

Цей спосіб практично грунтується на першому, але в разі, якщо невідома. завжди відрізає прямокутний трикутник, параметри якого знаходяться тригонометричними тотожністю, тобто. Перетворюючи співвідношення, отримуємо. У рівнянні першого способу замінюємо висоту цим твором і отримуємо доказ справедливості цієї формули.

Через діагоналі паралелограма і кут, який вони створюють при перетині, також можна знайти площу.

Доказ: AC і BD перетинаючись, утворюють чотири трикутники: ABE, BEC, CDE і AED. Їх сума дорівнює площі цього чотирикутника.

Площа кожного з цих Δ можна знайти за виразом, де a = BE, b = AE, ∠γ = ∠AEB. Оскільки, то в розрахунках використовується єдине значення синуса. Тобто . Оскільки AE + CE = AC = d 1 і BE + DE = BD = d 2, формула площі зводиться до:

.

Застосування в векторній алгебрі

Особливості складових частин цього чотирикутника знайшли застосування в векторній алгебрі, а саме: складання двох векторів. Правило паралелограма стверджує, що якщо задані вектори і НЕ колінеарні, то їх сума буде дорівнює діагоналі цієї фігури, підстави якої відповідають цим векторах.

Доказ: з довільно обраного початку – т. О. – будуємо вектори і. Далі будуємо паралелограм ОАСВ, де відрізки OA і OB – сторони. Таким чином, ОС лежить на векторі або сумі.

Формули для обчислення параметрів паралелограма

Тотожності наведені при наступних умовах:

1. a і b, α – сторони і кут між ними;
2. d 1 і d 2, γ – діагоналі і в точці їх перетину;
3. h a і h b – висоти, опущені на сторони a і b;

параметр	Формула
знаходження сторін
по діагоналях і косинусу кута між ними
по діагоналях і стороні
через висоту і протилежну вершину
Знаходження довжини діагоналей
по сторонам і величиною вершини між ними

Паралелограм є чотирикутну фігуру, у якої протилежні сторони попарно паралельні і попарно рівні. Рівні у нього також і протилежні кути, а точка перетину діагоналей паралелограма ділить їх навпіл, будучи при цьому центром симетрії фігури. Окремими випадками паралелограма є такі геометричні фігури як квадрат, прямокутник і ромб. Площа паралелограма можна знайти різними способами, в залежності від того, якими вихідними даними супроводжується постановка задачі.

Ключовою характеристикою паралелограма, дуже часто використовується при знаходженні його площі, є висота. Висотою паралелограма прийнято називати перпендикуляр, опущений з довільної точки протилежного боку до відрізка прямої, що утворює цю сторону.

У найпростішому випадку площа паралелограма визначається як добуток його заснування на висоту.

де S – площа паралелограма;
a – підстава;
h – висота, проведена до цієї підстави.

Дану формулу дуже легко зрозуміти і запам’ятати, якщо поглянути на наступний малюнок.

Як видно з даного зображення, якщо зліва від паралелограма відрізати уявний трикутник і приєднати його справа, то в результаті ми отримаємо прямокутник. А як відомо, площа прямокутника знаходиться перемножением його довжини на висоту. Тільки в разі паралелограма довжина буде підставою, а висота прямокутника – висотою паралелограма, опущеною на цю сторону.

Площа паралелограма може бути також знайдена в результаті перемноження довжин двох суміжних підстав і синуса кута між ними:

де AD, AB – суміжні підстави, що утворюють точку перетину і кут а між собою;
α – кут між підставами AD і AB.

Також площа паралелограма можна знайти розділивши навпіл твір довжин діагоналей паралелограма на синус кута між ними.

де AC, BD – діагоналі паралелограма;
β – кут між діагоналями.