Матриця обернена до матриці системи. Вища математика

Матриця $ A ^ <- 1> $ називається зворотної по відношенню до квадратної матриці $ A $, якщо виконана умова $ A ^ <- 1> \ cdot A = A \ cdot A ^ <- 1> = E $, де $ E $ – одинична матриця, порядок якої дорівнює порядку матриці $ A $.

Невироджених матриця – матриця, визначник якої не дорівнює нулю. Відповідно, вироджена матриця – та, у якій дорівнює нулю визначник.

Зворотній матриця $ A ^ <- 1> $ існує тоді і тільки тоді, коли матриця $ A $ – невироджена. Якщо зворотна матриця $ A ^ <- 1> $ існує, то вона єдина.

Є кілька способів знаходження зворотної матриці, і ми розглянемо два з них. На цій сторінці буде розглянуто метод приєднаної матриці, який покладається стандартним в більшості курсів вищої математики. Другий спосіб знаходження оберненої матриці (метод елементарних перетворень), який передбачає використання методу Гаусса або методу Гаусса-Жордана, розглянуто у другій частині.

Метод приєднаної (союзної) матриці

Нехай задана матриця $ A_$. Для того, щоб знайти зворотну матрицю $ A ^ <- 1> $, потрібно здійснити три кроки:

1. Знайти визначник матриці $ A $ і переконатися, що $ \ Delta A \ neq 0 $, тобто що матриця А – невироджена.
2. Скласти алгебраїчні доповнення $ A_$ Кожного елемента матриці $ A $ і записати матрицю $ A_^ <*> = \ Left (A_ \ Right) $ зі знайдених алгебраїчних доповнень.
3. Записати зворотну матрицю з урахуванням формули $ A ^ <- 1> = \ frac <1> <\ Delta A> \ cdot > ^ T $.

матрицю $> ^ T $ часто називають приєднаної (взаємної, союзної) до матриці $ A $.

Якщо рішення відбувається вручну, то перший спосіб хороший лише для матриць порівняно невеликих порядків: другого (), третього (), четвертого (). Щоб знайти зворотну матрицю для матриці вищого порядку, використовуються інші методи. Наприклад, метод Гаусса, який розглянуто у другій частині.

Знайти матрицю, обернену до матриці $ A = \ left (\ begin 5 & ​​-4 & 1 & 0 \ 12 & -11 & 4 & 0 \ -5 & 58 & 4 & 0 \ 3 & -1 & -9 & 0 \ end \ Right) $.

Так як всі елементи четвертого стовпця дорівнюють нулю, то $ \ Delta A = 0 $ (тобто матриця $ A $ є виродження). Так як $ \ Delta A = 0 $, то зворотної матриці до матриці $ A $ не існує.

Знайти матрицю, обернену до матриці $ A = \ left (\ begin -5 & 7 \ 9 & 8 \ end\ Right) $.

Використовуємо метод приєднаної матриці. Спочатку знайдемо визначник заданої матриці $ A $:

$$ \ Delta A = \ left | \ begin -5 & 7 \ 9 & 8 \ end\ Right | = -5 \ cdot 8-7 \ cdot 9 = -103. $$

Так як $ \ Delta A \ neq 0 $, то зворотна матриця існує, тому продовжимо рішення. Знаходимо алгебраїчні доповнення

Складаємо матрицю з алгебраїчних доповнень: $ A ^ <*> = \ left (\ begin 8 & -9 \ -7 & -5 \ end\ Right) $.

Транспоніруем отриману матрицю: $> ^ T = \ left (\ begin 8 & -7 \ -9 & -5 \ end\ Right) $ (отримана матриця часто іменується приєднаної або союзної матрицею до матриці $ A $). Використовуючи формулу $ A ^ <- 1> = \ frac <1> <\ Delta A> \ cdot > ^ T $, маємо:

$$ A ^ <- 1> = \ frac <1> <- 103> \ cdot \ left (\ begin 8 & -7 \ -9 & -5 \ end\ Right) = \ left (\ begin -8/103 & 7/103 \ 9/103 & 5/103 \ end\ Right) $$

Отже, обернена матриця знайдена: $ A ^ <- 1> = \ left (\ begin -8/103 & 7/103 \ 9/103 & 5/103 \ end\ Right) $. Щоб перевірити істинність результату, досить перевірити істинність одного з рівності: $ A ^ <- 1> \ cdot A = E $ або $ A \ cdot A ^ <- 1> = E $. Перевіримо виконання рівності $ A ^ <- 1> \ cdot A = E $. Щоб поменше працювати з дробом, будемо підставляти матрицю $ A ^ <- 1> $ не в формі $ \ left (\ begin -8/103 & 7/103 \ 9/103 & 5/103 \ end\ Right) $, а у вигляді $ – \ frac <1> <103> \ cdot \ left (\ begin 8 & -7 \ -9 & -5 \ end\ Right) $:

відповідь : $ A ^ <- 1> = \ left (\ begin -8/103 & 7/103 \ 9/103 & 5/103 \ end\ Right) $.

Знайти обернену матрицю для матриці $ A = \ left (\ begin 1 & 7 & 3 \ -4 & 9 & 4 \ 0 & 3 & 2 \ end \ Right) $.

Почнемо з обчислення визначника матриці $ A $. Отже, визначник матриці $ A $ такий:

$$ \ Delta A = \ left | \ begin 1 & 7 & 3 \ -4 & 9 & 4 \ 0 & 3 & 2 \ end \ Right | = 18-36 + 56-12 = 26. $$

Так як $ \ Delta A \ neq 0 $, то зворотна матриця існує, тому продовжимо рішення. Знаходимо алгебраїчні доповнення кожного елемента заданої матриці:

Складаємо матрицю з алгебраїчних доповнень і транспоніруем її:

Використовуючи формулу $ A ^ <- 1> = \ frac <1> <\ Delta A> \ cdot > ^ T $, отримаємо:

$$ A ^ <- 1> = \ frac <1> <26> \ cdot \ left (\ begin 6 & -5 & 1 \ 8 & 2 & -16 \ -12 & -3 & 37 \ end \ Right) = \ left (\ begin 3/13 & -5/26 & 1/26 \ 4/13 & 1/13 & -8/13 \ -6/13 & -3/26 & 37/26 \ end \ Right) $$

Отже, $ A ^ <- 1> = \ left (\ begin 3/13 & -5/26 & 1/26 \ 4/13 & 1/13 & -8/13 \ -6/13 & -3/26 & 37/26 \ end \ Right) $. Щоб перевірити істинність результату, досить перевірити істинність одного з рівності: $ A ^ <- 1> \ cdot A = E $ або $ A \ cdot A ^ <- 1> = E $. Перевіримо виконання рівності $ A \ cdot A ^ <- 1> = E $. Щоб поменше працювати з дробом, будемо підставляти матрицю $ A ^ <- 1> $ не в формі $ \ left (\ begin 3/13 & -5/26 & 1/26 \ 4/13 & 1/13 & -8/13 \ -6/13 & -3/26 & 37/26 \ end \ Right) $, а у вигляді $ \ frac <1> <26> \ cdot \ left (\ begin 6 & -5 & 1 \ 8 & 2 & -16 \ -12 & -3 & 37 \ end \ Right) $:

Перевірка пройдена успішно, зворотна матриця $ A ^ <- 1> $ знайдена вірно.

відповідь : $ A ^ <- 1> = \ left (\ begin 3/13 & -5/26 & 1/26 \ 4/13 & 1/13 & -8/13 \ -6/13 & -3/26 & 37/26 \ end \ Right) $.

Знайти матрицю, зворотну матриці $ A = \ left (\ begin 6 & -5 & 8 & 4 \ 9 & 7 & 5 & 2 \ 7 & 5 & 3 & 7 \ -4 & 8 & -8 & -3 \ end \ Right) $.

Для матриці четвертого порядку знаходження оберненої матриці за допомогою алгебраїчних доповнень трохи важко. Однак такі приклади в контрольних роботах зустрічаються.

Щоб знайти зворотну матрицю, для початку потрібно обчислити визначник матриці $ A $. Найкраще в даній ситуації це зробити за допомогою розкладання визначника по рядку (стовпцю). Вибираємо будь-який рядок або стовпець і знаходимо алгебраїчні доповнення кожного елемента обраної рядки або стовпці.

Як правило, зворотні операції використовуються для спрощення складних виразів алгебри. Наприклад, якщо в задачі присутній операція ділення на дріб, можна замінити її операцією множення на зворотну дріб, що є зворотною операцією. Більш того, матриці ділити не можна, тому потрібно множити на зворотну матрицю. Обчислювати матрицю, зворотну матриці розміром 3х3, досить утомливо, але потрібно вміти робити це вручну. Також зворотну величину можна знайти за допомогою хорошого графічного калькулятора.

За допомогою приєднаної матриці

Транспонується вихідну матрицю. Транспонування – це заміна рядків на стовпці щодо головної діагоналі матриці, тобто потрібно поміняти місцями елементи (i, j) і (j, i). При цьому елементи головної діагоналі (починається у верхньому лівому кутку і закінчується в нижньому правому куті) не змінюються.

• Щоб поміняти рядки на стовпці, запишіть елементи першого рядка в першому стовпці, елементи другого рядка в другому стовпці, а елементи третього рядка в третьому стовпці. Порядок зміни положення елементів показаний на малюнку, на якому відповідні елементи обведені кольоровими гуртками.

Знайдіть визначити кожної матриці розміром 2х2. Кожен елемент будь-якої матриці, включаючи транспоновану, пов’язаний з відповідною матрицею 2х2. Щоб знайти матрицю 2х2, яка відповідає певному елементу, закресліть рядок і стовпець, в яких знаходиться даний елемент, тобто потрібно закреслити п’ять елементів вихідної матриці 3х3. Незачеркнутимі залишаться чотири елементи, які є елементами відповідної матриці 2х2.

• Наприклад, щоб знайти матрицю 2х2 для елемента, який розташований на перетині другого рядка і першого стовпця, закресліть п’ять елементів, які знаходяться у другому рядку і першому стовпці. Решта чотири елементи є елементами відповідної матриці 2х2.
• Знайдіть визначник кожної матриці 2х2. Для цього твір елементів другорядною діагоналі відніміть з твору елементів головної діагоналі (дивіться малюнок).
• Детальну інформацію про матрицях 2х2, які відповідають певним елементам матриці 3х3, можна знайти в інтернеті.

Створіть матрицю кофакторов. Результати, отримані раніше, запишіть у вигляді нової матриці кофакторов. Для цього знайдений визначник кожної матриці 2х2 напишіть там, де розташовувався відповідний елемент матриці 3х3. Наприклад, якщо розглядається матриця 2х2 для елемента (1,1), її визначник запишіть в позиції (1,1). Потім поміняйте знаки відповідних елементів згідно певною схемою, яка показана на малюнку.

• Схема зміни знаків: знак першого елемента першого рядка не змінюється; знак другого елементу першого рядка змінюється на протилежний; знак третього елемента першого рядка не змінюється і так далі через підрядник. Зверніть увагу, що знаки «+» і «-», які показані на схемі (дивіться малюнок), не свідчать про те, що відповідний елемент буде позитивним або негативним. В даному випадку знак «+» говорить про те, що знак елемента не змінюється, а знак «-» свідчить про зміну знака елемента.
• Детальну інформацію про матрицях кофакторов можна знайти в інтернеті.
• Так ви знайдете приєднану матрицю вихідної матриці. Іноді її називають комплексно-сполученої матрицею. Така матриця позначається як adj (M).

Розділіть кожен елемент приєднаної матриці на визначник. Визначник матриці М був обчислений на самому початку, щоб перевірити, що зворотна матриця існує. Тепер розділіть кожен елемент приєднаної матриці на цей визначник. Результат кожної операції ділення запишіть там, де знаходиться відповідний елемент. Так ви знайдете матрицю, зворотну вихідної.

• Визначник матриці, яка показана на малюнку, дорівнює 1. Таким чином, тут приєднана матриця є зворотною матрицею (бо при розподілі будь-якого числа на 1 воно не змінюється).
• У деяких джерелах операція ділення замінюється операцією множення на 1 / det (М). При цьому кінцевий результат не змінюється.

Запишіть зворотну матрицю. Запишіть елементи, розташовані на правій половині великий матриці, у вигляді окремої матриці, яка є зворотною матрицею.

Введіть вихідну матрицю в пам’ять калькулятора. Для цього натисніть кнопку Matrix (Матриця), якщо вона є. У разі калькулятора Texas Instruments, можливо, знадобиться натиснути кнопки 2 nd і Matrix.

Виберіть меню Edit (Редагування). Зробіть це за допомогою кнопок зі стрілками або відповідної функціональної кнопки, яка знаходиться у верхній частині клавіатури калькулятора (розташування кнопки залежить від моделі калькулятора).

Введіть позначення матриці. Більшість графічних калькуляторів вміє працювати з 3-10 матрицями, які можна позначити буквами А-J. Як правило, просто виберіть [A], щоб позначити початкову матрицю. Потім натисніть кнопку Enter (Введення).

Введіть розмір матриці. В даній статті йдеться про матрицях 3х3. Але графічні калькулятори вміють працювати з матрицями великих розмірів. Введіть кількість рядків, натисніть кнопку Enter, потім введіть кількість стовпців і ще раз натисніть кнопку Enter.

Введіть кожен елемент матриці. На екрані калькулятора відобразиться матриця. Якщо раніше в калькулятор вже вводилася матриця, вона з’явиться на екрані. Курсор виділить перший елемент матриці. Введіть значення першого елемента і натисніть Enter. Курсор автоматично переміститься до наступного елементу матриці.

Розглянемо проблему визначення операції, зворотної множенню матриць.

Нехай A – квадратна матриця порядку n. Матриця A ^ <-1>, яка задовольнить разом із заданою матрицею A равенствам:

називається зворотною. Матрицю A називають оборотною, якщо для неї існує зворотна, в іншому випадку – незворотною.

З визначення випливає, що якщо зворотна матриця A ^ <-1> існує, то вона квадратна того ж порядку, що і A. Однак не для будь-якої квадратної матриці існує зворотна. Якщо визначник матриці A дорівнює нулю (\ det = 0), то для неї не існує зворотній. Справді, застосовуючи теорему про визначнику твори матриць для одиничної матриці E = A ^ <- 1> A отримуємо протиріччя

так як визначник одиничної матриці дорівнює 1. Виявляється, що відмінність від нуля визначника квадратної матриці є єдиною умовою існування оберненої матриці. Нагадаємо, що квадратну матрицю, визначник якої дорівнює нулю, називають вироджених <особой), в="" противном="" случае="" -="" невырожденной=""><>

Теорема 4.1 про існування та єдність оберненої матриці. Квадратна матриця A = \ begina_ <11> & \ cdots & a_ <1n> \ \ vdots & \ ddots & \ vdots \ a_& \ Cdots & a_ \ end , Визначник якої відмінний від нуля, має зворотну матрицю і притому тільки одну:

де A ^ <+> – матриця, транспонована для матриці, складеної з алгебраїчних доповнень елементів матриці A.

Матриця A ^ <+> називається приєднаною матрицею по відношенню до матриці A.

Доведемо першу рівність. Згідно п.4 зауважень 2.3, з властивостей визначника слід, що AA ^ <+> = \ det \ cdot E. Тому

що і було потрібно показати. Аналогічно доводиться друга рівність. Отже, за умови \ det \ ne0 матриця A має зворотну

Единственность оберненої матриці доведемо від противного. Нехай крім матриці A ^ <-1> існує ще одна обернена матриця B \, (B \ ne A ^ <- 1>) така, що AB = E. Помноживши обидві частини цієї рівності зліва на матрицю A ^ <-1>, отримуємо \ underbraceAB> _= A ^ <- 1> E. Звідси B = A ^ <-1>, що суперечить припущенню B \ ne A ^ <-1>. Отже, зворотна матриця єдина.

1. З визначення випливає, що матриці A і A ^ <-1> перестановки.

2. Матриця, обернена до невироджених діагональної, є теж діагональної:

3. Матриця, обернена до невироджених нижньої (верхньої) трикутної, є нижньою (верхньої) трикутної.

4. Елементарні матриці мають зворотні, які також є елементарними (див. П.1 зауважень 1.11).

Властивості оберненої матриці

Операція звернення матриці має такі властивості:

якщо мають сенс операції, зазначені в равенствах 1-4.

Доведемо властивість 2: якщо твір AB невироджених квадратних матриць одного і того ж порядку має зворотну матрицю, то (AB) ^ <- 1> = B ^ <- 1> A ^ <-1>.

Дійсно, визначник твори матриць AB не дорівнює нулю, так як

Отже, зворотна матриця (AB) ^ <-1> існує і єдина. Покажемо за визначенням, що матриця B ^ <- 1> A ^ <-1> є зворотною по відношенню до матриці AB. Дійсно.

Матриця А -1 називається оберненою матрицею по відношенню до матриці А, якщо А * А -1 = Е, де Е – одинична матриця n-го порядку. Зворотній матриця може існувати тільки для квадратних матриць.

Призначення сервісу. За допомогою даного сервісу в онлайн режимі можна знайти алгебраїчні доповнення, транспоновану матрицю A T, союзну матрицю і зворотний матрицю. Рішення проводиться безпосередньо на сайті (в он-лайн режимі) і є безкоштовним. Результати обчислень оформляються в звіті формату Word і в форматі Excel (тобто є можливість перевірити рішення). см. приклад оформлення.

Інструкція. Для отримання рішення необхідно задати розмірність матриці. Далі в новому діалоговому вікні заповніть матрицю A.

Див. Також Зворотній матриця методом Жордана-Гаусса

Алгоритм знаходження оберненої матриці

1. Знаходження транспонованою матриці A T.
2. Визначення алгебраїчних доповнень. Замінюють кожен елемент матриці його алгебраїчним доповненням.
3. Складання оберненої матриці з алгебраїчних доповнень: кожен елемент отриманої матриці ділять на визначник вихідної матриці. Результуюча матриця є зворотною для вихідної матриці.

наступний алгоритм знаходження оберненої матриці аналогічний попередньому за винятком деяких кроків: спочатку обчислюються алгебраїчні доповнення, а потім визначається союзна матриця C.

1. Визначають, квадратна чи матриця. Якщо немає, то зворотної матриці для неї не існує.
2. Обчислення визначника матриці A. Якщо він не дорівнює нулю, продовжуємо рішення, інакше – оберненої матриці не існує.
3. Визначення алгебраїчних доповнень.
4. Заповнення союзної (взаємної, приєднаної) матриці C.
5. Складання оберненої матриці з алгебраїчних доповнень: кожен елемент приєднаної матриці C ділять на визначник вихідної матриці. Результуюча матриця є зворотною для вихідної матриці.
6. Роблять перевірку: перемножують вихідну і отриману матриці. У результаті повинна вийти одинична матриця.

Приклад №1. Запишемо матрицю у вигляді:

Алгебраїчні доповнення.

∆ 1,1 = (-1 4-5 (-2)) = 6

∆ 1,2 = -(2 4-(-2 (-2))) = -4

∆ 1,3 = (2 5-(-2 (-1))) = 8

∆ 2,1 = -(2 4-5 3) = 7

∆ 2,2 = (-1 4-(-2 3)) = 2

∆ 2,3 = -(-1 5-(-2 2)) = 1

∆ 3,1 = (2 (-2)-(-1 3)) = -1

∆ 3,2 = -(-1 (-2)-2 3) = 4

∆ 3,3 = (-1 (-1)-2 2) = -3
тоді зворотний матрицю можна записати як:

Інший алгоритм знаходження оберненої матриці

Особливий випадок : Зворотною, по відношенню до одиничної матриці E, є одинична матриця E.

Зворотній матриця для даної це така матриця, множення вихідної на яку дає одиничну матрицю: Обов’язковою і достатньою умовою наявності зворотного матриці є нерівність нулю детермінанта вихідної (що в свою чергу має на увазі, що матриця має бути квадратна). Якщо ж визначник матриці дорівнює нулю, то її називають вироджених і така матриця не має зворотної. У вищій математиці зворотні матриці мають важливе значення і застосовуються для вирішення ряду завдань. Наприклад, на знаходженні оберненої матриці побудований матричний метод вирішення систем рівнянь. Наш сервіс сайт дозволяє обчислювати зворотну матрицю онлайн двома методами: методом Гаусса-Жордана і за допомогою матриці алгебраїчних доповнень. Перервемо на увазі велику кількість елементарних перетворень всередині матриці, другий – обчислення детермінанта і алгебраїчних доповнень до всіх елементів. Для обчислення визначника матриці онлайн ви можете скористатися іншим нашим сервісом – Обчислення детермінанта матриці онлайн

Знайти обернену матрицю на сайт

сайт дозволяє знаходити зворотний матрицю онлайн швидко і безкоштовно. На сайті проізвордятся обчислення нашим сервісом і видається результат з докладним рішенням по знаходженню оберненої матриці . Сервер завжди видає тільки точний і вірний відповідь. У завданнях з визначення оберненої матриці онлайн , Необхідно, щоб визначник матриці був відмінним від нуля, інакше сайт повідомить про неможливість знайти зворотну матрицю з огляду на рівності нулю визначника вихідної матриці. Завдання по знаходженню оберненої матриці зустрічається у багатьох розділах математики, будучи одним з найбільш базових понять алгебри і математичним інструментом в прикладних задачах. самостійне визначення зворотної матриці вимагає значних зусиль, багато часу, обчислень і великої уважності, щоб не допустити описку або дрібну помилку в обчисленнях. Тому наш сервіс по знаходженню оберненої матриці онлайн значно полегшить вам задачу і стане незамінним інструментом для вирішення математичних завдань. навіть якщо ви знаходите зворотну матрицю самостійно, ми рекомендуємо перевірити ваше рішення на нашому сервері. Уведіть вашу вихідну матрицю у нас на Обчислення зворотної матриці онлайн і звірте ваш відповідь. Наша система ніколи не помиляється і знаходить зворотний матрицю заданої розмірності в режимі онлайн миттєво! На сайті сайт допускаються символьні записи в елементах матриць , в цьому випадку зворотна матриця онлайн буде представлена ​​в загальному символьному вигляді.