Раціональні і ірраціональні числа. Ірраціональні числа – Гіпермаркет знань

Раніше ми вже показали, що $ 1 \ frac25 $ – близько до $ \ sqrt2 $. Якби воно точно дорівнювало $ \ sqrt2 $,. Тоді співвідношення – $ \ frac <1 \ frac25> <1> $, яке можна перетворити в співвідношення цілих чисел $ \ frac75 $, помноживши верхню і нижню частини дробу на 5, і було б шуканої величиною.

Але, на жаль, $ 1 \ frac25 $ не є точною величиною $ \ sqrt2 $. Більш точну відповідь $ 1 \ frac <41> <100> $, дає нам співвідношення $ \ frac <141> <100> $. Ще більшої точності ми досягаємо, коли прирівнюємо $ \ sqrt2 $ до $ 1 \ frac <207> <500> $. У цьому випадку співвідношення в цілих числах дорівнюватиме $ \ frac <707> <500> $. Але і $ 1 \ frac <207> <500> $ не є точним значенням кореня квадратного з 2. Грецькі математики витратили масу часу і сил, щоб обчислити точне значення $ \ sqrt2 $, але це їм так і не вдалося. Вони не змогли представити співвідношення $ \ frac <\ sqrt2> <1> $ в вигляді співвідношення цілих чисел.

Нарешті, великий грецький математик Евклід довів, що, як би не збільшувалася точність підрахунків, отримати точне значення $ \ sqrt2 $ неможливо. Не існує такої дробу, яка, будучи зведена в квадрат, дасть в результаті 2. Кажуть, що першим до цього висновку прийшов Піфагор, але цей незрозумілий факт настільки вразив вченого, що він поклявся сам і взяв зі своїх учнів клятву зберігати це відкриття в таємниці . Однак, можливо, ці відомості не відповідають дійсності.

Але якщо число $ \ frac <\ sqrt2> <1> $ не може бути представлено у вигляді співвідношення цілих чисел, то і ніяка, що містить $ \ sqrt2 $, наприклад $ \ frac <\ sqrt2> <2> $ або $ \ frac <4> <\ sqrt2> $ також не може бути представлена ​​у вигляді співвідношення цілих чисел, оскільки всі такі дроби можуть бути перетворені в $ \ frac <\ sqrt2> <1> $, помножене на яке-небудь число. Так $ \ frac <\ sqrt2> <2> = \ frac <\ sqrt2> <1> \ times \ frac12 $. Або $ \ frac <\ sqrt2> <1> \ times 2 = 2 \ frac <\ sqrt2> <1> $, що можна перетворити, помноживши верхню і нижню частини на $ \ sqrt2 $, і отримати $ \ frac <4> <\ sqrt2> $. (Не слід забувати, що незалежно від того, що являє собою число $ \ sqrt2 $, якщо ми помножимо його на $ \ sqrt2 $, то отримаємо 2.)

Оскільки число $ \ sqrt2 $ можна представити у вигляді співвідношення цілих чисел, воно отримало назву ірраціонального числа . З іншого боку, все числа, які можна представити у вигляді співвідношення цілих чисел, називаються раціональними .

Раціональними є всі цілі і дробові числа, як позитивні, так і негативні.

Як виявилося, більшість квадратних коренів є ірраціональними числами. Раціональні квадратного кореня є тільки у чисел, що входять в ряд квадратних чисел. Ці числа називаються також ідеальними квадратами. Раціональними числами є також дробу, складені з цих ідеальних квадратів. Наприклад, $ \ sqrt <1 \ frac79> $ є раціональним числом, так як $ \ sqrt <1 \ frac79> = \ frac <\ sqrt16> <\ sqrt9> = \ frac43 $ або $ 1 \ frac13 $ (4 – це корінь квадратний з 16, а 3 – корінь квадратний з 9).

Що таке ірраціональні числа? Чому вони так називаються? Де вони використовуються і що собою являють? Мало хто може без роздумів відповісти на ці питання. Але насправді відповіді на них досить прості, хоч потрібні не всім і в дуже рідкісних ситуаціях

Сутність і позначення

Ірраціональні числа представляють собою нескінченні неперіодичні Необхідність введення цієї концепції обумовлена ​​тим, що для вирішення нових задач, що виникають уже було недостатньо раніше наявних понять дійсних або речових, цілих, натуральних і раціональних чисел. Наприклад, для того, щоб обчислити, квадратом якої величини є 2, необхідно використовувати неперіодичні нескінченні десяткові дроби. Крім того, багато найпростіші рівняння також не мають рішення без запровадження концепції ірраціонального числа.

Це безліч позначається як I. І, як вже ясно, ці значення не можуть бути представлені у вигляді простого дробу, в чисельнику якого буде ціле, а в знаменнику –

Вперше так чи інакше з цим явищем зіткнулися індійські математики в VII столітті коли було виявлено, що квадратні корені з деяких величин не можуть бути позначені явно. А перший доказ існування подібних чисел приписують піфагорійцям Гіппаса, який зробив це в процесі вивчення рівнобедреного прямокутного трикутника. Серйозний внесок у вивчення цієї множини привнесли ще деякі вчені, які жили до нашої ери.Введення концепції ірраціональних чисел спричинило за собою перегляд існуючої математичної системи, ось чому вони так важливі.

походження назви

Якщо ratio в перекладі з латині – це “дріб”, “відношення”, то приставка “ір”
надає цьому слову протилежного значення. Таким чином, назва безлічі цих чисел говорить про те, що вони не можуть бути співвіднесені з цілим або дробовим, мають окреме місце. Це і випливає з їх суті.

Місце в загальній класифікації

Ірраціональні числа поряд з раціональними відноситься до групи речових або дійсних, які в свою чергу відносяться до комплексних. Підмножин немає, проте розрізняють алгебраїчну і трансцендентну різновид, про які йтиметься нижче.

властивості

Оскільки ірраціональні числа – це частина безлічі дійсних, то до них застосовні всі їх властивості, які вивчаються в арифметиці (їх також називають основними алгебраїчними законами).

a + b = b + a (комутативність);

(A + b) + c = a + (b + c) (асоціативність);

a + (-a) = 0 (існування протилежної числа);

ab = ba (переместітельний закон);

(Ab) c = a (bc) (дистрибутивность);

a (b + c) = ab + ac (розподільний закон);

a x 1 / a = 1 (існування зворотного числа);

Порівняння також проводиться відповідно до загальними закономірностями і принципами:

Якщо a> b і b> c, то a> c (транзитивність співвідношення) і. т. д.

Зрозуміло, все ірраціональні числа можуть бути перетворені за допомогою основних арифметичних дій. Ніяких особливих правил при цьому немає.

Крім того, на ірраціональні числа поширюється дія аксіоми Архімеда. У ньому записано, що для будь-яких двох величин a і b справедливим є твердження, що, взявши a як доданка достатню кількість разів, можна перевершити b.

Використання

Незважаючи на те що в звичайному житті не так вже й часто доводиться стикатися з ними, ірраціональні числа не піддаються рахунку. Їх сила-силенна, але вони практично непомітні. Нас всюди оточують ірраціональні числа. Приклади, знайомі всім, – це число пі, рівне 3,1415926. або e, по суті є підставою натурального логарифма, 2,718281828. В алгебрі, тригонометрії і геометрії використовувати їх доводиться постійно. До речі, знамените значення “золотого перетину”, тобто ставлення як здебільшого до меншої, так і навпаки, також

ставиться до цього безлічі. Менш відоме “срібне” – теж.

На числовій прямій вони розташовані дуже щільно, так що між будь-якими двома величинами, віднесеними до безлічі раціональних, обов’язково зустрічається ірраціональна.

До сих пір існує маса невирішених проблем, пов’язаних з цим безліччю. Існують такі критерії, як міра ірраціональності і нормальність числа. Математики продовжують досліджувати найбільш значні приклади на предмет належності їх до тієї чи іншої групи. Наприклад, вважається, що ті – нормальне число, т. Е. Ймовірність появи в його записи різних цифр однакова. Що ж стосується пі, то щодо його поки ведуться дослідження. Мірою ірраціональності ж називають величину, яка показує, наскільки добре те або інше число може бути наближене раціональними числами.

Алгебраїчні і трансцендентні

Як уже було згадано, ірраціональні числа умовно поділяються на алгебраїчні і трансцендентні. Умовно, оскільки, строго кажучи, ця класифікація використовується для розподілу безлічі C.

Під цим позначенням ховаються комплексні числа, які включають в себе справжні чи речові.

Отже, алгебраїчним називають таке значення, яке є коренем многочлена, що не рівного тотожне нулю. Наприклад, квадратний корінь з 2 буде ставитися до цієї категорії, оскільки він є рішенням рівняння x 2 – 2 = 0.

Всі ж інші речові числа, що не відповідають цій умові, називаються трансцендентними. До цього різновиду відносяться і найбільш відомі і вже згадані приклади – число пі і підстава натурального логарифма e.

Що цікаво, ні одне, ні друге не були спочатку виведені математиками в цій якості, їх ірраціональність і трансцендентність були доведені через багато років після їх відкриття. Для пі доказ було наведено в 1882 році і спрощено в 1894, що поклало край суперечкам про проблему квадратури кола, які тривали протягом 2,5 тисячі років. Воно досі до кінця не вивчено, так що сучасним математикам є над чим працювати. До речі, перше достатньо точне обчислення цього значення провів Архімед. До нього всі розрахунки були занадто приблизними.

Для е (числа Ейлера або Непера), доказ його трансцендентності було знайдено в 1873 році. Воно використовується в рішенні логарифмічних рівнянь.

Серед інших прикладів – значення синуса, косинуса і тангенса для будь-яких алгебраїчних ненульових значень.

Всі раціональні числа можна представити у вигляді звичайного дробу. Це стосується і цілих чисел (наприклад, 12, -6, 0), і кінцевих десяткових дробів (наприклад, 0,5; -3,8921), і нескінченних періодичних десяткових дробів (наприклад, 0,11 (23); -3 , (87)).

Однак нескінченні неперіодичні десяткові дроби представити у вигляді звичайних дробів неможливо. Вони то і є ірраціональними числами (Тобто нераціональними). Прикладом такого числа є число π, яке приблизно дорівнює 3,14. Однак чому воно точно так само, визначити не можна, так як після цифри 4 йде нескінченний ряд інших цифр, в яких не можна виділити повторювані періоди. При цьому, хоча число π не можна точно висловити, у нього є конкретний геометричний сенс. Число π – це відношення довжини будь-кола до довжини її діаметру. Таким чином ірраціональні числа дійсно існують в природі, також як раціональні.

Іншим прикладом ірраціональних чисел можуть служити квадратний корінь з позитивних чисел. Витяг коренів з одних чисел дає раціональні значення, з інших – ірраціональне. Наприклад, √4 = 2, т. Е. Корінь з 4 – це раціональне число. А ось √2, √5, √7 і багато інших дають в результаті ірраціональні числа, т. Е. Їх можна витягти лише з наближенням, округливши до певного знака після коми. При цьому дріб виходить неперіодичних. Тобто не можна точно і ясно сказати, чому дорівнює корінь з цих чисел.

Так √5 – це число лежить між числами 2 і 3, так як √4 = 2, а √9 = 3. Можна також зробити висновок, що √5 ближче до 2, ніж до 3, т. К. √4 ближче до √5, ніж √9 до √5. Дійсно, √5 ≈ 2,23 або √5 ≈ 2,24.

Ірраціональні числа виходять також в інших обчисленнях (а не тільки при добуванні коренів), бувають негативними.

По відношенню до ірраціональним числам можна сказати, що якою б одиничний інтервал ми не взяли для вимірювання довжини, вираженої таким числом, ми не зможемо її виразно виміряти.

В арифметичних операціях ірраціональні числа можуть брати участь поряд з раціональними. При цьому є ряд закономірностей. Наприклад, якщо в арифметичній операції беруть участь тільки раціональні числа, то в результаті виходить завжди раціональне число. Якщо ж в операції беруть участь тільки ірраціональні, то сказати однозначно, чи вийде раціональне або ірраціональне число, не можна.

Наприклад, якщо помножити два ірраціональних числа √2 * √2, то вийде 2 – це раціональне число. З іншого боку, √2 * √3 = √6 – це ірраціональне число.

Якщо в арифметичній операції бере участь раціональне і ірраціональне числа, то вийде ірраціональний результат. Наприклад, 1 + 3,14. = 4,14. ; √17 – 4.

Чому √17 – 4 – це ірраціональне число? Уявімо, що вийде раціональне число x. Тоді √17 = x + 4. Але x + 4 – це раціональне число, т. К. Ми припустили, що x раціональне. Число 4 теж раціональне, значить x + 4 раціонально. Однак раціональне число не може бути одно ірраціонального √17. Тому припущення, що √17 – 4 дає раціональний результат невірно. Результат арифметичної операції буде ірраціональним.

Однак з цього правила є виняток.Якщо ми множимо ірраціональне число на 0, то вийде раціональне число 0.

Від абстрактності математичних понять часом настільки віє і відстороненістю, що мимоволі виникає думка: «Навіщо це все?». Але, не дивлячись на перше враження, все теореми, арифметичні операції, функції і т.п. – не більше, ніж бажання задовольнити нагальні потреби. Особливо чітко це можна помітити на прикладі появи різних множин.

Все почалося з появи натуральних чисел. І, хоча, навряд чи зараз хтось зможе відповісти, як точно це було, але швидше за все, ноги у цариці наук ростуть звідкись із печери. Тут, аналізуючи кількість шкур, каменів і одноплемінників, людина безліч «чисел для рахунку». І цього йому було досить. До якогось моменту, звичайно ж.

Далі треба було шкури і камені ділити і віднімати. Так виникла потреба в арифметичних операціях, а разом з ними і раціональних, які можна визначити як дріб типу m / n, де, наприклад, m – кількість шкур, n – кількість одноплемінників.

Здавалося б, уже відкритого математичного апарату цілком достатньо, щоб радіти життям. Але незабаром виявилося, що випадки, коли результат не те, що не ціле число, але навіть не дріб! І, дійсно, квадратний корінь з двох ніяк інакше не висловити за допомогою чисельника і знаменника. Або, наприклад, всім відоме число Пі, відкрите давньогрецьким вченим Архімедом, так само не є раціональним. І таких відкриттів згодом стало настільки багато, що все не піддаються «раціоналізації» числа об’єднали і назвали ірраціональними.

властивості

Розглянуті раніше безлічі належать набору фундаментальних понять математики. Це означає, що їх не вийде визначити через простіші математичні об’єкти. Але це можна зробити за допомогою категорій (з грец. «Висловлювання») або постулатів. В даному випадку краще всього було позначити властивості даних множин.

o Ірраціональні числа визначають дедекіндових перетину в безлічі раціональних чисел, у яких в нижньому немає найбільшого, а в верхньому немає найменшого числа.

o Кожне трансцендентне число є ірраціональним.

o Кожне ірраціональне число є або алгебраїчним, або трансцендентним.

o Безліч чисел усюди щільно на числовій прямій: між будь-якими є ірраціональне число.

o Безліч незліченну, є безліччю другої категорії Бера.

o Це безліч впорядковане, т. е. для кожних двох різних раціональних чисел a і b можна вказати, яке з них менше іншого.
o Між кожними двома різними раціональними числами існує ще принаймні одне, а отже, і безліч раціональних чисел.

o Арифметичні дії (додавання, множення і ділення) над будь-якими двома раціональними числами завжди можливі і дають в результаті певне раціональне ж число. Винятком є ​​поділ на нуль, яке неможливо.

o Кожне раціональне число може бути представлено у вигляді десяткового дробу (кінцевої або нескінченної періодичної).

Безліч ірраціональних чисел зазвичай позначається великою латинською літерою I <\ displaystyle \ mathbb > В напівжирному зображенні без заливки. Таким чином: I = R ∖ Q <\ displaystyle \ mathbb = \ Mathbb \ Backslash \ mathbb >, То є безліч ірраціональних чисел є різниця множин речових і раціональних чисел.

Про існування ірраціональних чисел, точніше відрізків, непорівнянних із відрізком одиничної довжини, знали вже стародавні математики: їм була відома, наприклад, несумісність діагоналі і сторони квадрата, що рівносильно ірраціональності числа.