Порахувати об’єм кулі онлайн. Як знайти об’єм кулі

В геометрії куля визначається як якесь тіло, яке представляє собою сукупність всіх точок простору, які розташовуються від центру на відстані, не більше заданого, званого радіусом кулі. Поверхня кулі іменується сферою, а сам він утворюється шляхом обертання півкола біля його діаметра, що залишається нерухомим.

З цим геометричним тілом дуже часто стикаються інженери-конструктори і архітектори, яким часто доводиться обчислювати об’єм кулі . Скажімо, в конструкції передньої підвіски переважної більшості сучасних автомобілів використовуються так звані кульові опори, в яких, як неважко здогадатися з самої назви, одними з основних елементів є саме кулі. З їх допомогою відбувається з’єднання маточин керованих коліс і важелів. Від того, наскільки правильно буде обчислений їх обсяг, багато в чому залежить не тільки довговічність цих вузлів і правильність їх роботи, але і безпеку руху.

У техніці широке розповсюдження отримали такі деталі, як кулькові підшипники, за допомогою яких відбувається кріплення осей в нерухомих частинах різних вузлів і агрегатів і забезпечується їх обертання. Слід зауважити, що при їх розрахунку конструкторам потрібно знайти об’єм кулі (А точніше – куль, які розміщені в обойму) з високим ступенем точності. Що стосується виготовлення металевих кульок для підшипників, то вони виробляються з металевого дроту за допомогою складного технологічного процесу, що включає в себе стадії формування, загартування, грубої шліфовки, чистового притирання і очищення. До речі кажучи, ті кульки, які входять в конструкцію всіх кулькових ручок, виготовляються по точно такою ж технологією.

Досить часто кулі використовуються і в архітектурі, причому там вони найчастіше є декоративними елементами будівель і інших споруд. У більшості випадків вони виготовляються з граніту, що часто вимагає великих затрат ручної праці. Звичайно, дотримуватися таку високу точність виготовлення цих куль, як тих, які застосовуються в різних агрегатах і механізмах, не потрібно.

Без куль немислима така цікава і популярна гра, як більярд. Для їх виробництва використовуються різні матеріали (кістку, камінь, метал, пластмаси) і використовуються різні технологічні процеси. Одним з основних вимог, що пред’являються до більярдних куль, є їх висока міцність і здатність витримувати високі механічні навантаження (перш за все, ударні). Крім того, їх поверхня повинна являти собою точну сферу для того, щоб забезпечувалося плавне і рівне кочення по поверхні більярдних столів.

Нарешті, без таких геометричних тіл, як кулі, не обходиться жодна новорічна або різдвяна ялинка. Виготовляються ці прикраси в більшості випадків зі скла методом видування, і при їх виробництві найбільшу увагу приділяється точності розмірів, а естетичності виробів. Технологічний процес при цьому практично повністю автоматизований і вручну ялинкові кулі тільки упаковуються.

Радіус кулі (позначається як r або R) – це відрізок, який з’єднує центр кулі з будь-якою точкою на його поверхні. Як і в разі кола, радіус кулі є важливою величиною, яка необхідна для знаходження діаметра кулі, довжини кола, площі поверхні і / або обсягу. Але радіус кулі можна знайти і за даним значенням діаметра, довжини кола і іншої величини. Використовуйте формулу, в яку можна підставити дані значення.

Формули для обчислення радіуса

Обчисліть радіус по діаметру. Радіус дорівнює половині діаметра, тому використовуйте формулу г = D / 2 . Ця така ж формула, яка використовується при обчисленні радіуса і діаметра кола.

• Наприклад, дано куля з діаметром 16 см. Радіус цієї кулі: r = 16/2 = 8 см . Якщо діаметр дорівнює 42 см, то радіус дорівнює 21 см (42/2=21).

Обчисліть радіус по довжині кола. Використовуйте формулу: r = C / 2π . Так як довжина кола C = πD = 2πr, то розділіть формулу для обчислення довжини кола на 2π і отримаєте формулу для знаходження радіуса.

• Наприклад, дано куля з довжиною кола 20 см. Радіус цієї кулі: r = 20 / 2π = 3,183 см .
• Така ж формула використовується при обчисленні радіуса і довжини окружності кола.

Обчисліть радіус за обсягом кулі. Використовуйте формулу: r = ((V / π) (3/4)) 1/3 . Обсяг кулі обчислюється за формулою V = (4/3) πr 3. Відокремити r на одній стороні рівняння, ви отримаєте формулу ((V / π) (3/4)) 3 = г, тобто для обчислення радіуса об’єм кулі ділимо на π, результат множимо на 3/4, а отриманий результат зводимо в ступінь 1/3 (або витягаємо кубічний корінь).

• Наприклад, дано куля з об’ємом 100 см 3. Радіус цієї кулі обчислюється так:
  • ((V / π) (3/4)) 1/3 = r
  • ((100 / π) (3/4)) 1/3 = r
  • ((31,83) (3/4)) 1/3 = r
  • (23,87) 1/3 = r
  • 2,88 см = r

Обчисліть радіус по площі поверхні. Використовуйте формулу: г = √ (A / (4 π)) . Площа поверхні кулі обчислюється за формулою А = 4πr 2. Відокремити r на одній стороні рівняння, ви отримаєте формулу √ (A / (4π)) = r, тобто, щоб обчислити радіус, потрібно витягти квадратний корінь з площі поверхні, поділеній на 4π. Замість того щоб витягувати корінь, вираз (A / (4π)) можна звести в ступінь 1/2.

• Наприклад, дано куля з площею поверхні 1200 см 3. Радіус цієї кулі обчислюється так:
  • √ (A / (4π)) = r
  • √ (1200 / (4π)) = r
  • √ (300 / (π)) = r
  • √ (95,49) = r
  • 9,77 см = r

Визначення основних величин

Запам’ятайте основні величини, які мають відношення до обчислення радіуса кулі. Радіус кулі – це відрізок, який з’єднує центр кулі з будь-якою точкою на його поверхні. Радіус кулі можна обчислити за даними значенням діаметра, довжини кола, обсягу або площі поверхні.

Скористайтеся значеннями цих величин, щоб знайти радіус. Радіус можна обчислити за даними значенням діаметра, довжини кола, обсягу і площі поверхні. Більш того, зазначені величини можна знайти за даним значенням радіусу. Щоб обчислити радіус, просто перетворіть формули для знаходження зазначених величин. Нижче наведені формули (в яких присутня радіус) для обчислення діаметра, довжини кола, обсягу і площі поверхні.

Знаходження радіуса по відстані між двома точками

Знайдіть координати (х, у, z) центру кулі. Радіус кулі дорівнює відстані між його центром і будь-якою точкою, що лежить на поверхні кулі. Якщо відомі координати центру кулі і будь-якої точки, що лежить на його поверхні, можна знайти радіус кулі за спеціальною формулою, обчисливши відстань між двома точками. Спочатку знайдіть координати центру кулі. Майте на увазі, що так як куля є тривимірною фігурою, то точка буде мати три координати (х, у, z), а не дві (х, у).

• Розглянемо приклад. Дан кулю з центром з координатами (4,-1,12) . Скористайтеся цими координатами, щоб знайти радіус кулі.

Знайдіть координати точки, що лежить на поверхні кулі. Тепер потрібно знайти координати (х, у, z) будь-який точки, що лежить на поверхні кулі. Так як всі точки, що лежать на поверхні кулі, розташовані на однаковій відстані від центру кулі, для обчислення радіуса кулі можна вибрати будь-яку точку.

• У нашому прикладі припустимо, що деяка точка, що лежить на поверхні кулі, має координати (3,3,0) . Обчисливши відстань між цією точкою і центром кулі, ви знайдете радіус.

Обчисліть радіус за формулою d = √ ((x 2 – x 1) 2 + (y 2 – y 1) 2 + (z 2 – z 1) 2). Дізнавшись координати центру кулі і точки, що лежить на його поверхні, ви можете знайти відстань між ними, що дорівнює радіусу кулі. Відстань між двома точками обчислюється за формулою d = √ ((x 2 – x 1) 2 + (y 2 – y 1) 2 + (z 2 – z 1) 2), де d – відстань між точками, (x 1, y 1, z 1) – координати центру кулі, (x 2, y 2, z 2) – координати точки, що лежить на поверхні кулі.

• У розглянутому прикладі замість (x 1, y 1, z 1) підставте (4, -1,12), а замість (x 2, y 2, z 2) підставте (3,3,0):
  • d = √ ((x 2 – x 1) 2 + (y 2 – y 1) 2 + (z 2 – z 1) 2)
  • d = √ ((3 – 4) 2 + (3 – -1) 2 + (0 – 12) 2)
  • d = √ ((- 1) 2 + (4) 2 + (-12) 2)
  • d = √ (1 + 16 + 144)
  • d = √ (161)
  • d = 12,69 . Це шуканий радіус кулі.

Майте на увазі, що в загальних випадках r = √ ((x 2 – x 1) 2 + (y 2 – y 1) 2 + (z 2 – z 1) 2). Всі точки, що лежать на поверхні кулі, розташовані на однаковій відстані від центру кулі.Якщо у формулі для знаходження відстані між двома точками “d” замінити на “r”, вийде формула для обчислення радіуса кулі по відомих координатах (x 1, y 1, z 1) центру кулі і координатами (x 2, y 2, z 2 ) будь-якої точки, що лежить на поверхні кулі.

• Зведіть обидві сторони цього рівняння в квадрат, і отримаєте r 2 = (x 2 – x 1) 2 + (y 2 – y 1) 2 + (z 2 – z 1) 2. Відзначте, що це рівняння відповідає рівнянню сфери r 2 = x 2 + y 2 + z 2 з центром з координатами (0,0,0).

• Не забувайте про порядок виконання математичних операцій. Якщо ви не пам’ятаєте цей порядок, а ваш калькулятор вміє працювати з круглими дужками, користуйтеся ними.
• У цій статті розповідається про обчислення радіуса кулі. Але якщо ви відчуваєте труднощі з вивченням геометрії, краще почати з обчислення величин, пов’язаних з кулею, через відоме значення радіуса.
• π (Пі) – це буква грецького алфавіту, яка позначає постійну, рівну відношенню діаметра кола до довжини її кола. Число Пі є ірраціональним числом, яке записується як відношення дійсних чисел. Існує безліч наближень, наприклад, ставлення 333/106 дозволить знайти число Пі з точністю до чотирьох цифр після десяткової коми. Як правило, користуються приблизними значенням числа Пі, що дорівнює 3,14.

Куля і сфера – це перш за все геометричні фігури, і якщо куля – це геометричне тіло, то сфера – це поверхня кулі. Цими фігурами цікавилися ще багато тисяч років тому до н.е.

Згодом коли було відкрито, що Земля – ​​це куля, а небо – небесна сфера, отримав розвиток новий захоплююче напрямок в геометрії – геометрія на сфері або сферична геометрія. Для того, щоб міркувати про розмір і обсязі кулі, потрібно спочатку дати йому визначення.

Кулею радіуса R з центром в точці О в геометрії називають тіло, яке створено всіма точками простір, мають загальну властивість. Ці точки знаходяться на відстані, що не перевищує радіуса кулі, тобто заповнюють весь простір менше радіуса кулі в різні боки від його центру. Якщо ми розглянемо тільки ті точки, які рівновіддалені від центру кулі – ми будемо розглядати його поверхню або оболонку кулі.

Як можна отримати кулю? Ми можемо вирізати з паперу коло і почати його обертати навколо його ж діаметру. Тобто діаметр кола буде віссю обертання. Освічена фігура – буде куля. Тому куля називають також тілом обертання. Тому що він може бути утворений шляхом обертання плоскої фігури – кола.

Візьмемо якусь площину і разрежем нею наш куля. Подібно до того як ми ріжемо ножем апельсин. Шматок, який ми відітнемо від кулі, називається кульовим сегментом.

У Стародавній Греції вміли не тільки працювати з кулею і сферою, як з геометричними фігурами, наприклад, використовувати їх при будівництві, а також вміли розраховувати площа поверхні кулі і об’єм кулі.

Сферою інакше називається поверхню кулі. Сфера – це не тіло – це поверхня тіла обертання. Однак так як і Земля і повставало багато тіл мають сферичну форму, наприклад крапля води, то вивчення геометричних співвідношень всередині сфери набуло великого поширення.

Наприклад, якщо ми з’єднаємо дві точки сфери між собою прямою лінією, то ця пряма лінія назветься хордою, а якщо ця хорда пройде через центр сфери, який збігається з центром кулі, то хорда назветься діаметром сфери.

Якщо ми проведемо пряму лінію, яка торкнеться сфери всього в одній точці, то ця лінія буде називатися дотичній. Крім того, ця дотична до сфери в цій точці буде перпендикулярна до радіуса сфери, проведеного в точку дотику.

Якщо ми продовжимо хорду до прямої в одну і іншу сторону від сфери, то ця хорда стане називатися січною. Або можна сказати інакше – січна до сфери містить в собі її хорду.

обсяг кулі

Формула для обчислення обсягу кулі має вигляд:

де R – радіус кулі.

Якщо потрібно знайти об’єм кульового сегмента – скористайтеся формулою:

V сег = πh 2 (R-h / 3), h – висота кульового сегмента.

Площа поверхні кулі або сфери

Щоб обчислити площу сфери або площа поверхні кулі (це одне і те ж):

де R – радіус сфери.

Архімед дуже любив куля і сферу, він навіть попросив залишити на його гробницю малюнок, на якому в циліндр вписано кулю. Архімед вважав, що об’єм кулі і його поверхня дорівнюють двом третім від обсягу і поверхні циліндра, в який вписано кулю »

Багато тіл, які ми зустрічаємо в житті або про які чули, мають кулясту форму, наприклад футбольний м’яч, що падає крапля води під час дощу або наша планета. У зв’язку з цим є актуальним розгляд питання, як знаходити об’єм кулі.

Фігура куля в геометрії

Перед тим як відповісти на питання, кулі, розглянемо докладніше це тіло. Деякі люди плутають його зі сферою. Зовні вони дійсно схожі, проте куля – це заповнений всередині об’єкт, сфера ж являє собою лише зовнішню оболонку кулі нескінченно малої товщини.

З точки зору геометрії куля можна уявити сукупністю точок, причому ті з них, які лежать на його поверхні (вони утворюють сферу), знаходяться на однаковій відстані від центру фігури. Це відстань називають радіусом. По суті, радіус – це єдиний параметр, за допомогою якого можна описати будь-які властивості кулі, такі як площа його поверхні або обсяг.

На малюнку нижче наведений приклад кулі.

Якщо уважно подивитися на цей ідеальний круглий об’єкт, то можна здогадатися, як його отримати зі звичайного кола. Для цього досить обертати цю плоску фігуру навколо осі, що збігається з його діаметром.

Одним з відомих стародавніх літературних джерел, в якому досить докладно розглядаються властивості цієї об’ємної фігури, є праця грецького філософа Евкліда – “Елементи”.

Площа поверхні та об’єм

Розглядаючи питання, як знаходити об’єм кулі, крім цієї величини, слід привести формулу для його площі, оскільки обидва вирази можна зв’язати один з одним, як буде показано нижче.

Отже, щоб знайти об’єм кулі, слід застосувати одну з наступних двох формул:

Тут R – радіус фігури. Перша з наведених формул є точною, проте, щоб скористатися цією перевагою, необхідно використовувати відповідне число знаків після коми для числа pi. Другий вираз дає цілком хороший результат, відрізняючись від першого всього на 0,03%. Для ряду практичних завдань цієї точності цілком достатньо.

Дорівнює цій величині для сфери, тобто виражається формулою S = 4 * pi * R2. Якщо звідси висловити радіус, а потім підставити його в першу формулу для об’єму, тоді отримаємо: R = √ (S / (4 * pi)) => V = S / 3 * √ (S / (4 * pi)).

Таким чином, ми розглянули питання, як знайти об’єм кулі через радіус і через площу його поверхні. Ці вирази можна з успіхом застосовувати на практиці. Далі в статті наведемо приклад їх використання.

Завдання з краплею дощу

Вода, коли знаходиться в невагомості, набуває форми кулястої краплі. Пов’язано це з наявністю сил поверхневого натягу, які прагнуть мінімізувати площа поверхні. Куля, в свою чергу, володіє найменшим її значенням серед усіх геометричних фігур з однаковою масою.

Під час дощу падаюча крапля води знаходиться в невагомості, тому її формою є куля (тут нехтуємо силою опору повітря). Необхідно визначити обсяг, площа поверхні і радіус цієї краплі, якщо відомо, що її маса становить 0,05 грама.

Обсяг визначити просто, для цього слід поділити відому масу на щільність H 2 O (ρ = 1 г / см 3). Тоді V = 0,05 / 1 = 0,05 см 3.

Знаючи, як знайти об’єм кулі, слід висловити з формули радіус і підставити отримане значення, маємо: R = ∛ (3 * V / (4 * pi)) = ∛ (3 * 0,05 / (4 * 3,1416)) = 0,2285 см.

Тепер значення радіуса підставляємо у вираз для площі поверхні фігури, отримуємо: S = 4 * 3,1416 * 0,22852 = 0,6561 см 2.

Таким чином, знаючи, як знаходити об’єм кулі, ми отримали відповіді на всі питання завдання: R = 2,285 мм, S = 0,6561 см 2 і V = 0,05 см 3.

Куля – це геометричне тіло обертання, утворене шляхом обертання кола або півкола навколо його діаметра. Також куля – це простір, обмежений сферичною поверхнею. Існує безліч реальних сферичних об’єктів і пов’язаних з ними завдань, для вирішення яких потрібно визначити об’єм кулі.

Куля і сфера

Коло – найдавніша геометрична фігура, і античні вчені надавали їй сакральне значення. Коло – це символ вічного часу і простору, символ Всесвіту і буття. На думку Піфагора, коло – найвродливіша з фігур. У тривимірному просторі коло перетворюється в сферу, таку ж ідеальну, космічну та прекрасну, як і коло.

Сфера по-давньогрецькому означає «м’яч». Сфера являє собою поверхню, утворену нескінченним безліччю точок, рівновіддалених від центру фігури. Простір, обмежений сферою, і є куля. Куля – ідеальна геометрична фігура, форму якої приймають багато реальні об’єкти. Наприклад, в реальному житті форму кулі мають гарматні ядра, підшипники або м’ячі, в природі – краплі води, крони дерев або ягоди, в космосі – зірки, метеори або планети.

обсяг кулі

Визначення обсягу сферичної фігури – складне завдання, адже таке геометричне тіло не можна розбити на куби або трикутні призми, формули обсягів яких вже відомі. Сучасна наука дозволяє обчислити об’єм кулі за допомогою певного інтеграла, проте яким чином була виведена формула обсягу в Стародавній Греції, коли про інтеграли ще ніхто не чув? Архімед обчислив об’єм кулі за допомогою конуса і циліндра, так як формули обсягів цих фігур були вже визначені давньогрецьким філософом і математиком Демокритом.

Архімед представив половину кулі за допомогою однакових конуса і циліндра, при цьому радіус кожної фігури дорівнював її висоті R = h. Античний учений представив конус і циліндр розбитими на нескінченну кількість маленьких циліндрів. Архімед зрозумів, що якщо з обсягу циліндра Vc відняти обсяг конуса Vk, він отримає обсяг однієї півсфери Vsh:

Обсяг конуса обчислюється за простою формулою:

але знаючи, що So в даному випадку – це площа кола, а h = R, то формула трансформується в:

Vk = 1/3 × pi × R × R 2 = 1/3 pi × R 3

Обсяг циліндра обчислюється за формулою:

але вважаючи, що висота циліндра дорівнює його радіусу, ми отримуємо:

Використовуючи ці формули, Архімед отримав:

0,5 Vsh = pi × R 3 – 1/3 pi × R 3 або Vsh = 4/3 pi × R 3

Сучасне визначення формули обсягу кулі виводиться з інтеграла від площі сферичної поверхні, однак результат залишається все тим же

Vsh = 4/3 pi × R 3

Розрахунок обсягу кулі може знадобитися як в реальному житті, так і при вирішенні абстрактних завдань. Для обчислення обсягу кулі за допомогою онлайн-калькулятора вам знадобиться дізнатися лише один параметр на вибір: діаметр або радіус сфери. Розглянемо кілька прикладів.

Приклади з життя

гарматні ядра

Припустимо, ви хочете дізнатися, скільки чавуну необхідно для відливання гарматного ядра шестіфутових калібру. Ви знаєте, що діаметр такого ядра складає 9,6 сантиметрів. Введіть це число в клітинку калькулятора «Діаметр», і ви отримаєте відповідь у вигляді

Таким чином, для виплавки гарматного ядра заданого калібру вам знадобиться 463 кубічних сантиметрів або 0,463 літра чавуну.

Повітряні кулі

Нехай вам цікаво, скільки повітря необхідно для накачування повітряної кулі ідеальної сферичної форми. Ви знаєте, що радіус обраного кульки становить 10 см. Вбийте це значення в клітинку калькулятора «Радіус» і ви отримаєте результат

Це означає, що для накачування одного такого кулі вам знадобиться 4188 кубічних сантиметрів або 4,18 літрів повітря.

висновок

Необхідність визначення обсягу кулі може виникнути в самих різних ситуаціях: від абстрактних шкільних завдань до наукових пошуків і виробничих питань. Для вирішення питань будь-якої складності використовуйте наш онлайн-калькулятор, який миттєво представить вам точний результат і необхідні математичні викладки.